抛物线的切线方程,抛物线切线方程的推导过程

抛物线y²=2px是圆锥曲线方程抛物线的切线方程，但不是函数，由x轴分成的两部分是函数，且两个对应的反函数合起来是一个函数，即y=x²/(2p)，

它也是抛物线，且与抛物线y²=2px关于直线y=x对称；

设抛物线y=x²/(2p)上任一点为M(x0，x0²/(2p))；

由该抛物线图像可知，其上任一点的切线都不可能与y轴平行，

即其上任一点的切线斜率都存在，设过M点的斜率为k，

则其切线方程为y-(x0²/(2p))=k(x-x0)；

联立y=x²/(2p)，消去y得：(1/(2p))x²-kx+(kx0-(x0²/(2p)))=0；

则Δ=(-k)²-4(1/(2p))(kx0-(x0²/(2p)))=0，

化简得k²-2(x0/p)k+(x0²/p²)=0，解得k=x0/p；

教你一种简单快速的方法：

1.求出这点到焦点的距离（可以用两点间距离公式，也可利用到准线的距离间接求得，总之第一步的计算量可以忽略）

2.在抛物线的对称轴上找一点，使得这点到焦点的距离与第1步求得的距离相等（这样的点有两个，取抛物线外的那点）

3.求过已知点和你第二步求得的点的直线，这条直线就是所求切线

这种方法的原理实际上运用了抛物线的光学性质，即：过抛物线上任一点A，作准线的垂线，垂足为B，连接A与焦点F ， 则过A的切线为角BAF的平分线