推导,常用数列求和公式及其推导

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里有详细介绍,等差,等比,很熟悉就不介绍了,这里介绍了一些新的求证方法

计算∑[∑[i,{i,1,j}],{j,1,n}],

即(1)+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n),

这是别人的一种算法:

1+(1+2)+(1+2+3)+………..+(1+2+3+……..+n)

=[1*2+2*3+3*4+…+n(n+1)]/2

=[1*2*3+2*3*3+3*4*3+….+n(n+1)*3]/(2*3)

={1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+…+n(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/6

=[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+….+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/6

=n(n+1)(n+2)/6 .

下面是我的想法,如图所示,每个正方形边长为1,相当于求该图形的层数为n时的体积v[n],当层数n增加时,在三维直角坐标系下,长宽高与n成正比增加,于是体积v[n]应该是n的三次函数,

于是设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,

代入n=1,2,3,4得

1=a+b+c+d,

4=8a+4b+2c+d,

10=27a+9b+3c+d,

20=64a+16b+4c+d,

解得a = 1/6, b = 1/2, c = 1/3, d = 0,

于是

(1)+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

=n^3/6+n^2/2+n/3

=1/6 n (1 + n) (2 + n)

类似的办法计算:

1^2+2^2+3^2+…+n^2,相当于计算下面图形的体积,

设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,

代入n=1,2,3,4得

1=a+b+c+d,

5=8a+4b+2c+d,

14=27a+9b+3c+d,

30=64a+16b+4c+d,

解得a = 1/3, b = 1/2, c = 1/6, d = 0,

于是

1^2+2^2+3^2+…+n^2

=n^3/3 + n^2/2 + n/6

=1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)

类似的办法计算:

1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2,相当于计算下面图形的体积,

设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,

代入n=1,2,3,4得

1=a+b+c+d,

10=8a+4b+2c+d,

35=27a+9b+3c+d,

84=64a+16b+4c+d,

解得a = 4/3, b = 0, c = -1/3, d = 0,

于是

1^2+3^2+5^2+…+n^2

=4/3*n^3 – n/3

=1/3 n (2 n – 1) (2 n + 1)

当然这样得到的结果都是正确的,但是要证明它的正确性还需要用数学归纳法,或者其它办法.