圆锥体积公式推导过程,求圆锥体积公式的推导过程

设圆锥高度为h圆锥体积公式推导过程，底面半径为r。

圆锥可以看做是一个由n个半径依次减小的圆柱堆砌而成的几何图形，不妨进行如下推导：

首先令半径最大的圆柱的半径为圆锥底面半径r，最小的圆柱半径为0

则：

当n=2时，V1=πr²×h/2

当n=3时，V2=πr²×h/3+π·(r/2)²×h/3

当n=4时，V3=πr²×h/4+π(2r/3)²×h/4+π(r/3)²×h/4

……

当n=n时，V=πr²×h/n+π[(n-2)r/(n-1)]²×h/n+π[(n-3)r/(n-1)]²×h/n+……+π[r/(n-1)]²×h/n

V=πr²h×[1²+2²+3²+……+(n-2)²+(n-1)²]/[n(n-1)²]

=πr²h{(n-1)[(n-1)+1][2(n-1)+1]/6}/[n(n-1)²]

=πr²h×[(2n-1)/n-1]×1/6

=πr²h×[2+1/(n-1)]×1/6

当n→+无穷时，该几何体为圆锥

1/(n-1)=0

∴V=πr²h/3

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．

　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

　　根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh）,得出圆锥体积公式：

圆锥

V=1/3Sh

　　S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径.

　　证明：

　　把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,

　　第 n份半径：n*r/k

　　第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2

　　第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3

　　总体积(1+2+3+4+5+…+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+…+k^2)*r^2/k^3

　　因为

　　1^2+2^2+3^2+4^2+…+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6

　　所以

　　总体积(1+2+3+4+5+…+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+…+k^2)*r^2/k^3

　　=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3

　　=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

　　因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0

　　所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3

　　因为V圆柱=pi*h*r^2

　　所以

　　V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3