概率的性质,概率：一个柏拉图主义的比值
关于概率本质的争论，从人们研究概率论有关问题算起，持续了近三个世纪，直到概率的公理化定义出现概率的性质。本文正要介绍概率如何从频率的解释，发展到公理化定义，以及相关性质。
01.概率及其频率解释
我们无法确定，在一次随机试验中，一个随机事件是否发生。但是我们可以问，这个随机事件发生的可能性有多大。可能性大小意味着在一次试验中，某个随机事件发生的机会。但是这种机会无法在一次试验中被体现。
如果一个事件发生的可能性很大，那么在大量重复试验中，它发生的次数应该更多。事实正是如此。数学家发现，随着抛硬币次数的增加，正面朝上的次数在增加，而且正面朝上的次数与总的试验次数的比值越来越靠近1/2。
可见这个比值即频率的稳定值，与某个事件发生的可能性大小密切相关。数学家引出了概率的定义：一个随机事件发生的可能性大小的度量（数值），称为这个事件的概率。频率为概率提供了一种直观的解释。
02.从频率的性质看概率的性质
一个随机事件发生的频率，等于这个事件发生的次数除以总的试验次数。如果我们把与试验有关的全体事件的集合称为事件域，那么随着某个事件取遍事件域中的所有事件，频率即该事件定义在事件域中的函数。
这个频率函数满足三个性质：样本空间的频率等于1；任意事件的频率大于或等于0；对任意一组可数个两两不相容的事件，任意多个事件并集的频率等于这些事件各自频率的累加之和。
随着某个事件取遍任意事件，该事件的概率也可以被定义为事件域上的函数，且满足三个性质：样本空间的概率等于1；任意事件的概率大于或等于0；对任意一组可数个两两不相容的事件，任意多个事件并集的概率等于这些事件各自概率的累加之和。
03.概率的公理化定义
概率的频率解释被认为不足以作为“概率”的严格数学定义。于是数学家提出概率的公理化定义：定义在某个样本空间的事件域上的一个实值函数，被称为该样本空间上的一个概率测度，如果它满足下列三个公理：
样本空间的实值函数等于1；任意事件的实值函数大于或等于0；对任意一组可数个两两不相容的事件，任意多个事件并集的实值函数等于这些事件各自实值函数的累加之和。
概率测度的值被称为任意事件的概率，对应的样本空间被称为概率空间。从概率测度可以推出性质：空集的概率等于0；两事件的差的概率等于前一事件的概率减去两事件的积的概率；两事件的并的概率等于两事件各自的概率之和减去两事件积的概率；等等。
综上，发现概率直观上是一个比值，反映在大量重复试验中，某事件发生次数占试验总次数的比例。但是根据数学的某种柏拉图主义传统，认为公理化的概率定义更“本质”，当然也更抽象和实用。
