二阶微分方程的3种通解,二阶线性齐次微分方程通解求法

一、解二阶微分方程的3种通解：

求特征方程r^2+P(x)r+Q(x)=0，解出两个特征根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2为实数，

则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。

二、r是微分方程的特征值，它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。

将其看成一元二次方程，判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根，但在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；

在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；所以本题的两个特征值符合这一关系，故谓共轭复根。

扩展资料：

对于二阶线性递推数列，可采用特征方程法：

对于数列

，递推公式为

其特征方程为

1、 若方程有两相异根p、q ，则

2、 若方程有两等根p ，则

参考资料来源：搜狗百科-特征方程

二阶微分方程的通解的求法是在有些情况下，通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。三种容易用降阶法求解的二阶微分方程分别有y”=f(x)型；y”=f(x,y’)型；y”=f(y,y’)型。
对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y’，y”)=0。

通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话，y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解就你所抄的那句话来看是错的，不是二阶线性方程，而是二阶线性齐次方程；在这样的条件下成立的原因是，[y1(x)+y2(x)]’=y1(x)’+y2(x)’，C1y1(x)与C2y2(x)分别满足方程，则自然C1y1(x)+C2y2(x)也满足方程否则如果非齐次方程的话，应该可以从C1y1(x)与C2y2(x)均为方程的解推出y1(x)=ky2(x)这些都是通解的特殊情况

二阶微分方程的通解公式是：y=x(Acosx+Bsinx)，对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y’，y”)=0。
在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。具有这种性质的微分方程称为可降阶的微分方程，相应的求解方法称为降阶法。