椭圆面积,椭圆面积公式是怎么推导出来的？

椭圆面积公式:S=π(圆周率)×a×b椭圆面积，其中a、b分别是椭圆的半长轴，半短轴的长。

椭圆的面积推导方式如下：

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限内面积 有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2

即 y=√(b^2-b^2/a^2*x^2)

=b/a*√(a^2-x^2)

由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))’=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4

可得 当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4

即S=abπ。

  以下过程都是用坐标轴方程推导,x^2/a^2 y^2/b^2=1,且长轴在x轴上（其实不影响）。
把方程转化一下：y=|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)| sqr=开平方
先看普通情况——两轴焦点在0点处的椭圆的面积推导：
因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分,分别是 x y、-x y、-x-y、 x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。
  拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。
  现在应用元素法,在图形中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s,显然,s=y*dx
现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分
步骤：（第一象限全取正,后面不做说明）
S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx
设 x^2/a^2=sin^2t 则
∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率
∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
cos^2t=1-sin^2t
∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt
这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx
证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则
∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx
则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*（pi/2）-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*（pi/2)
则S=a*b*(pi/4)
椭圆面积S_c=a*b*pi
可见椭圆面积与坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率。

  1。仿射变换法其实从椭圆方程可知，椭圆是一个被“压缩”了的圆。设椭圆方程为：(x/a)^2+(y/b)^2=1令：x’=x，y’=y*a/b，我们就可以在新的坐标系中得到一个圆：x’^2+y’^2=a^2新坐标系其实是一个在y方向等比（比例为a/b）拉长了的坐标系，这样在新坐标系得到面积S=π*a^2后，再乘以比例b/a后得到：S=π*a*b就是所求答案2。
  积分取第一象限部分，y=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）,积分从0到a，换元t=x/a，得S/4=ab∫（0，1）SQR（1-t^2）dt,根据积分的几何意义，所求的积分为1/4单位圆的面积，得证S=πab看到以上2种方法，有些惭愧，但还是写下了我的推导方法，原理跟第二种方法类似，前提是圆的面积公式和积分定理，如下在坐标系X0Y中，作圆：x’^2+y’^2=a^2，和焦点在X轴的椭圆：(x/a)^2+(y/b)^2=1（椭圆的长轴长与圆的直径相等）先将上2个方程换成第一，二象限用Y关于X的解释式半圆：g(x)=SQR(a^2-x^2)半椭圆：h(x)=SQR（b^2-b^2x^2/a^2）=(b/a)SQR(a^2-x^2)令f(x)=g(x)-h(x)=(1-b/a)(a^2-x^2),积分从-a到a得∫(-a,a)f(x)dt=(1-b/a)∫(-a,a)g(x)(积分的性质）由圆的面积易知∫(-a,a)g(x)=0。
  5*πa^2则∫(-a,a)f(x)dt=（1-b/a)(0。5*πa^2)（∫(-a,a)f(x)dt表示在第一，二象限圆的面积减去椭圆的面积）那么椭圆在第一，二象限的面积就等于0。5*πa^2-（1-b/a)(0。5*πa^2)=0。5πab那么椭圆的总面积S=2*0。
  5πab=πab，得证。