维尔斯特拉斯函数,存不存在没有图像的函数？

其实很多。而且维尔斯特拉斯函数，可以证明，这种函数事实上不在“少数”，甚至比那些“正常”的函数“多得多”。

狄拉克δ函数（冲激函数）学信号处理的同学对它可以说相当熟悉了。

其实我们是没法画出这个图像的，因为它在原点处的幅度是无穷大，但是在“这一点”的面积又是1。

魏尔斯特拉斯函数

在数学发展史上，人们一直猜测，连续函数必然是近乎可导的。即：

连续函数在其定义域中，除去有限个点外，总有一些光滑的可导部分，所谓不可导的点必然只是有限的。

1872年，德国数学家魏尔斯特拉斯（集合论创始人康托尔的导师）利用函数项级数构造了一个函数，数学描述如下：

这个函数奇葩在于，它处处连续，却处处不可导。

简而言之，它的尖刺折点是如此之多，以至于无论你放多大，在多细微的尺度观察任何一段，函数图像都不会更光滑，它处处都是尖锐的。

它是一种不可测函数，你无法用笔画出图像的任何一部分，因为每一点的导数都不存在，画的人将无法知道每一点该朝哪个方向画。

通过计算机逐点描绘，函数图像大致是这样的：

该反例构造出来后，在数学界引起极大的震动。

随后，这个例子促成了一门新的学科“分形几何”的产生，所谓“分形”，就是指某图案的局部与整体具有相似性。

爆米花函数（Thomae’s function）定义：

f(x) = 1/q，当x = p/q，p为整数，q为自然数，pq互质。即x为有理数；

f(x) = 0，当x为无理数；

其中，q为自然数。

这个和狄利克雷函数比较类似。

是不是所有函数都可以求导？

要想弄清楚这个问题，就得先弄清楚一个函数在某一点的导数是什么。求一个函数在一点处切线的斜率是导数问题的思想来源之一，如下图所示

即，已知函数f(x)，并告诉你函数图像上的一点P，过P点做该曲线的切线，问如何求该切线的斜率？

我们知道对于一条直线而言，它的斜率定义就是在直线上任取两个点(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，那么斜率就是(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，但是求曲线的切线斜率则遭遇到了困难，因为我们只知道一个点P的坐标，而不知道第2个点，因此我们需要采用全新的手段。

我们采用用割线来逼近切线的方法，即，在点P附近的函数图像上取另外一个点Q，连接PQ两点得到一条直线，这条直线就是函数的一条割线，而现在我们有了两个点，因而割线的斜率是可以求出来的。在点P附近可以找到无数个Q点，因此可以做出无数条割线来，我们让Q向P点的方向移动，那么这条割线也就随之移动，当Q无限接近于P时，割线也就无限接近于切线，如下图所示

因此割线的斜率的极限就是切线的斜率，我们再来明确一下这个计算公式，先在函数图像上把我们需要的信息标出来

P点的坐标是(a,f(a))，Q点的坐标是(x，f(x))，因此割线PQ的斜率就是f(x)-f(a)除以x-a，再让x无限趋近于a，于是就得到了切线的斜率，我们把这个数值称为f(x)在这一点的导数，记为f'(a)，即

同样上面的过程，我们还可以换一套符号系统，如下图

我们把P和Q两点横坐标的差值记为h，于是按照同样的方法，我们又可以得到另外一个式子

上面两个式子的实质是一样的，称为函数f(x)在x=a处导数的第一定义和第二定义。

由上面的定义可以看出，函数在一点的导数值，实际上就相当于是一个极限值，而我们学极限的时候也已经学过，极限的结果有三种情况：某个常数、正负无穷、不存在。而一条直线的斜率又不能是正负无穷，因此当这个极限值算出来是正负无穷或不存在时，我们也说这一点的导数不存在，即函数在这一点不可导。

我们所能想象出来的函数绝大部分都是可导的，那么不可导的会有什么样的情况呢？

首先最明显的一个例子，如果函数在某一点是间断的，那么一定是不可导的，证明如下：

我们在学函数的连续性的时候，已经学过，函数在一点a处是连续的意思就是满足下面这个三联等式:

于是如果函数在一点是断开的，那么至少有一个等于号不成立，我们不妨设

于是代入到导数计算式中求右极限的式子

可以看出当x无限趋近于a的右侧的时候，分母不等于0，而分子等于0。于是他的极限只能是无穷，因而函数在这一点不可导。

其实我们直观的想象一下也可以明白其中的原因，函数如果在一点是断开的，那么就无法做切线了，因而肯定是没有导数的。

上面这个结论也是高中时我们常说的，可导必连续的由来，因为这句话的逆否命题就是不连续一定不可导，二者同真同假。因此又留下一个疑问，如果是连续的，那么是不是一定可导了呢？显然也不是的，我们有如下几个例子。

例1

我们可以带入到导数的定义式中计算

这个算式的左右极限不一样，因而该点的极限不存在，进而导数也就不存在。这个函数的图像如下图所示

从图中我们也可以看到，零点处是一个带尖儿的点，如果想在零这一点做切线的话，从左边做和从右边做做出来是两条不同的直线，因此该点处没有一条统一的切线，所以也就没有导数了。这种不可导数点，我们称之为尖点。

例2同样代入到导数的表达式中，我们有

从左右两边来看极限都是无穷，因此这一点也是不可导的。它的函数图像如下图所示

可以看出来，如果过零点做一条切线的话，是一条竖直线，而竖直线是没有斜率的，因此也就没有导数。这种点我们称之为竖直切线点。

上面两个例子是我们可以想象出来的，还有一类例子我们非常难以想象，只能靠计算了。

例3代入到导数的计算公式中可以得到

而这个函数当x趋近于0时是无穷震荡的，因为极限也不存在

，进而不可导，它的图像如下图所示：

越接近于零点时震荡得就越剧烈。

其实在历史上，人们对连续性与可导性的认识经历了相当漫长的过程。一开始当微积分的发明人牛顿提出导数这个概念时，因为当时人们对函数的认识还不是很清晰，认为函数无非就是一条连续的曲线，那么过任何一点都是可以做切线的，于是当时人们就认为函数在任何一点都是可导的。

但是后来随着人们研究的深入，发现了诸如尖点这样的不可导点，但是依然受限于人们的认识水平，他们认为一条连续的曲线除了个别尖点之外，剩下的应该是处处可导的。函数在某个区间上可导则称函数这个区间上是光滑的，也就是说当时人们以为对于任何一个函数，它除了少数见点之外，剩下的大部分应该都是光滑的。这其实也很符合我们现在的认知。

但是在1860年，德国数学家魏尔斯特拉斯却发现了这样一个函数

经过复杂的证明，可以知道这个函数是处处连续的，但是却处处不可导。这个发现震惊了当时数学界，彻底颠覆了人们对导数的认识：原来还存在这样一类函数，它是一条连续的曲线，但是所有点的导数不存在。这一发现又开辟了一个新的研究领域，即处处连续但无处可导的函数，从而也大大加深了人们对函数的认识，在一定程度上为分型理论的提出奠定了基础。

威尔斯特拉斯(Weierstrass, 1815-1897)

处处连续但处处不可导的函数的例子

参考文献

[1]. Calculus, early transcendentals, 7ed，James Stewwart，BROOKS/COLE.

[2]. 无处可微的连续函数，刘文，辽宁教育出版社.