ab矩阵,An,Bn是正定矩阵,AB=BA
摘要(1)证明ab矩阵：因为AB正定，所以A`=A，B`=B且存在可逆矩阵P，Q，使A=P`P，B=Q`Q。故(AB)`=B`A`=BA=AB，即AB是对称矩阵。Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`
(1)证明ab矩阵：
因为AB正定，所以A`=A，B`=B且存在可逆矩阵P，Q，使A=P`P，B=Q`Q。
故(AB)`=B`A`=BA=AB，即AB是对称矩阵。
Q(AB)(Q^-1)=Q(P`P)(Q`Q)(Q^-1)=(PQ`)`(PQ`)
记M=PQ`，因PQ均可逆，知M可逆，M`M正定。
AB相似于M`M，从而AB的特征值全大于0，故AB是正定矩阵。
(2)对称是一个矩阵正定的前提，也就是说只有对称矩阵才有资格被讨论是否为正定矩阵，而正定矩阵必为对称矩阵。
可以这么说明，A为非零矩阵，那么一定有非零行：
（ai1，ai2，……，ain）不全为0
而B是可逆矩阵，所以B的各个行向量线性无关，所以
ai（b11，b12，……，b1n）+ai2（b21，b22……，b2n）+……
+ain（bn1，bn2，……，bnn）
一定不是零向量，
所以AB中一定有非零行，所以AB非0矩阵。
可以反证：如果AB=0, 因为B可逆，两边同乘以B的逆，可得A=A(B*B^(-1))=0*B^(-1) = 0
