杨辉三角的规律公式（数型与二项式展开）

杨辉三角形是一种数型，也叫帕斯卡三角形。

杨辉三角是数字的三角形排列，它给出了任何二项式表达式展开时的系数。这些数字排列得像个三角形。首先，1放在顶部，然后我们开始把数字放在一个三角形的模式。我们每一步得到的数字是上述两个数字的加法。

杨辉三角形

大多数人是通过一套看似随意的规则认识杨辉三角形的。从上面的1开始，在三角形的两边都是1。每一个新数都位于两个数及其以下，它的值是上面两个数的和。理论上的三角形是无限的，并永远向下延伸，但只有前6条线出现在下图1。

杨辉三角形的构建

构造三角形最简单的方法是从第0行开始，只写数字1。从这里开始，要得到下面几行数字，将数字的正上方和正右侧的数字相加。如果左边或右边没有数字，则为缺少的数字替换一个零，然后继续进行加法。这是第0行到第5行的图解。

从上图中，如果我们对角线看，第一条对角线是1的列表，第二条对角线是计数数列表，第三条对角线是三角形数字列表，以此类推。

怎样利用杨辉三角形?

杨辉三角形可用于各种概率条件。假设我们抛硬币一次，那么只有两种可能的结果，正面(H)或反面(T)。

如果抛两次，有一种可能是两面都是正面HH，两面都是反面TT，但至少是正面或反面有两种可能，也就是HT或TH。

现在你可以考虑杨辉三角形是如何帮助你的。

让我们看看这里给出的基于投掷次数和结果的表格。

我们也可以通过增加投掷次数扩展。

杨辉三角形的形态

1)行相加:这个三角形的一个有趣的性质是，一行数字的和等于

其中n为行号:

1 = 1 =

1 + 1 = 2 =

1 + 2 + 1 = 4 =

1 + 3 + 3 + 1 = 8 =

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 =

2)三角形中的质数:三角形中另一个可见的模式处理质数。如果一行是素数行，那一行中的所有数字(不包括1)都能被这个素数整除。例如我们看第5行(1 5 10 10 5 1)，我们可以看到5和10能被5整除。

3)三角中的斐波那契数列:将帕斯卡三角形对角线上的数相加，得到的斐波那契数列如下图所示。

杨辉三角的特性

• 每个数字是上面两个数字的和。
• 外部数字均为1。
• 三角形是对称的。
• 第一个对角线表示正在计数的数字。
• 行的和是2的幂。
• 每行都是11的乘方数，比如第五行为=14641。
• 每个数字都是“二项式系数”。
• 斐波那契数列在对角线上。

这是一个18行的杨辉三角形;

公式

求杨辉三角形第n行第k列元素项的公式为:

杨辉三角形的二项式扩展应用

杨辉三角形定义了出现在二项展开式中的系数。这意味着杨辉三角形的第n行包含多项式展开表达式的系数, 它的展开式为：

上面展开式的系数Cn（r）恰好是杨辉三角形第n行中的数字。即：

令a=b=1, 那么：

二项式的第r+1项的求法按公式：

二项式的系数有很多性质，如：